a与a的转置矩阵的乘积的秩

a与a的转置矩阵的乘积的秩为a的秩。

在线性代数中，矩阵的秩是指矩阵中非零行或非零列的最大数量。对于矩阵A和它的转置矩阵A^T的乘积AA^T，其秩具有一定的性质。具体来说，矩阵AA^T的秩等于矩阵A的秩。

这个性质的证明可以从线性方程组的角度来理解。矩阵A和它的转置矩阵A^T的乘积AA^T可以看作是线性方程组的系数矩阵，而矩阵A^TA可以看作是该线性方程组的增广矩阵。矩阵的秩等于其对应的线性方程组的解空间的维数，因此，矩阵AA^T和A^TA的秩是相同的。

此外，矩阵A的秩也等于其行空间或列空间的维数。因此，矩阵AA^T的秩也等于矩阵A的行空间或列空间的维数。

拓展资料：

1.矩阵的秩是一个重要的概念，它描述了矩阵的"复杂性"，或者说矩阵的"自由度"。

2.矩阵的秩等于其行空间和列空间的维数，这是矩阵秩的一个重要性质。

3.如果矩阵A的秩为r，那么A有一个r阶非零子式，且所有大于r阶的子式都为零。

4.矩阵的秩等于其行向量或列向量构成的向量组的极大无关组的个数。

5.对于矩阵A，如果其秩为r，那么A可以表示为r个线性无关的列向量的和。

总的来说，矩阵a与a的转置矩阵的乘积的秩为a的秩，这是线性代数中的一个重要性质，对于理解和应用矩阵的秩有着重要的作用。